Les polygones réguliers ( 3 ème ) : Introduction

Pour commencer, qu’est ce qu’un polygone ?

Un polygone c’est une figure géométrique fermée composée de segments joints, appelés côtés.

Les points de jonctions des côtés sont appelés les sommets.

Poly signifie plusieurs : il faut donc plusieurs segments pour pouvoir faire un polygone. Cependant, si la figure n’a que deux côtés, elle ne peut être fermée. Il faut donc au moins 3 côtés dans un polygone.

Il existe plusieurs catégories de polygone classées en fonction du nombre de côtés :

Le triangle est un polygone à trois côtés

Le quadrilatère est un polygone à quatre côtés

Le pentagone est un polygone à cinq côtés

L’hexagone est un polygone à six côtés (d’où le surnom de la France dont la forme rappelle cette figure)

L’heptagone est un polygone à sept côtés

L’octogone est un polygone à huit côtés

Le chiliagone est un polygone à mille côtés …

Les fonctions linéaires ( 3ème )

Une fonction linéaire est définie par

Le quotient de l’image par l’antécédent est une constante a donc dans le cas d’une fonction linéaire l’image est proportionnelle à l’antécédent.

En fait, pour trouver l’image d’un nombre x, je multiplie x par a et pour trouver l’antécédent d’un nombre y je divise x par a . 

Cette constante a est appelée coefficient directeur de la droite représentant la fonction linéaire en question.

Si l’on me dit que f est une fonction linéaire et que un nombre 2 a pour image 9 en lui appliquant cette fonction alors je peux en déduire que le coefficient directeur a est a=9/2=4,5 l’expression algébrique de la fonction f est donc f(x)=4,5x

Représentation graphique d’une fonction linéaire : 

Pour toute fonction linéaire de forme f(x)=ax on a f(0)=0*a=0

Sa représentation graphique est donc une droite passant par l’origine (0;0)

Pour représenter une fonction linéaire il suffit de calculer les coordonnées d’un seul point et de tracer la droite passant par ce point et par le point (0;0)

C’est aussi simple que ça !

Soit la fonction f(x)=ax alors si les coordonnées (b;i) d’un point M sont telles que i/b=a alors M est sur la droite représentative de la fonction f

Fonctions linéaires et fonctions affines : trop facile !

Voyons deux types de fonctions simples aux caractéristiques particulières …

• Les fonctions affines

Les fonctions affines sont les fonctions de types f(x) = ax+b

a et b sont des nombres fixés (que l’on connait et qui ne changent pas pour la même fonction) positifs ou négatifs

• Les fonctions linéaires

Les fonctions linéaires sont des fonctions affines où b=0

Ce sont donc des fonctions de types f(x) = ax

Remarque : l’exemple 1 est une fonction linéaire où a = 5 et l’exemple 2 est une fonction affine où a = 1 et b = 7

Triangle rectangle : Relations trigonométriques ( 3ème ) …

Il existe trois paramètres permettant de définir un angle en plus de sa mesure en degré :

 Le cosinus

étudié en 4ème

Le sinus

Le sinus est une caractéristique d’un angle par rapport à sa mesure comme le cosinus. 

On retrouve la touche sin sur la calculatrice qui permet de calculer le cosinus d’un angle si l’on connait sa mesure en degré.

Par exemple, un angle de 30° a pour cosinus sin(30)=0,5

On peut aussi calculer la mesure d’un angle en degré grâce à la touche Arcsin ou la touche sin-1 de la calculatrice si l’on connait son sinus

Par exemple, un angle ayant pour sinus 0,5 mesure Arcsin(0,5)=30°

Le sinus est toujours compris entre 0 et 1 pour les angles aigus

Le sinus d’un angle droit est égal à 1

La tangente

Le tangente est une caractéristique d’un angle par rapport à sa mesure. 

On retrouve la touche tan sur la calculatrice qui permet de calculer la tangente d’un angle si l’on connait sa mesure en degré.

On peut aussi calculer la mesure d’un angle en degré grâce à la touche Arctan ou la touche tan-1 de la calculatrice si l’on connait sa tangente.

Un angle droit n’a pas de tangente. ( Pourquoi ? )

Voici les relations trigonométriques du triangle rectangle à connaitre par ❤ :

Triangle rectangle : cosinus d’un angle ( 4ème )

Le cosinus est une caractéristique d’un angle par rapport à sa mesure. 

On retrouve la touche cos sur la calculatrice qui permet de calculer le cosinus d’un angle si l’on connait sa mesure en degré.

Par exemple, un angle de 60° a pour cosinus cos(60)=0,5

On peut aussi calculer la mesure d’un angle en degré grâce à la touche Arccos ou la touche cos-1 de la calculatrice si l’on connait son cosinus

Par exemple, un angle ayant pour cosinus 0,5 mesure Arccos(0,5)=60°

Le cosinus est toujours compris entre 0 et 1 pour les angles aigus

Le cosinus d’un angle droit est égal à 0

Dans un triangle rectangle, il y a deux angles aigus et un angle droit

Chaque angle aigu ( inférieur à 90° ) a :

• Un côté adjacent : le côté qui forme cet angle avec l’hypoténuse
• Un côté opposé : le côté qui ne forme pas l’angle
• L’hypoténuse est le troisième côté : celui qui ne forme pas l’angle droit

Dans un triangle rectangle on peut calculer le cosinus des angles grâce si l’on connait la longueur des côtés adjacents grâce à l’égalité :

Si l’on connait le côté adjacent de l’angle et l’hypoténuse, on est tranquille !

Si l’on connait le côté adjacent de l’angle et son côté opposé, on fait un p’tit coup de Pythagore pour connaitre l’hypoténuse .

Si l’on connait le côté opposé de l’angle et l’hypoténuse, c’est toujours Pythagore, mais il faut jouer avec l’égalité :

Exemple :  Soit ABC un triangle rectangle en B, alors AC²=AB²+BC² donc AB²=AC²-BC²

Cette égalité est valable uniquement pour le triangle rectangle !

Pythagore : So Easy ( 4ème )

Dans un triangle rectangle, on a :

• Deux côtés adjacents à l’angle droit : ce sont ceux qui forment l’angle droit
• Le troisième côté : l’hypoténuse. L’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.

D’après Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

L’égalité de Pythagore est une caractéristique du triangle rectangle uniquement !

Donc si dans un triangle le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Ici, AC²=5²=25 et BC²+AB²=3²+4²=9+16=25 donc AC²=BC²+AB² donc ce triangle est rectangle en B et [AC] est l’hypoténuse.

Ici, on sait déjà que ABC est un triangle rectangle en A donc BC²=AB²+AC²

AC²+AB²=4²+5²=16+25=41

Donc BC²=41 BC est donc la racine carrée de 41 ! Soit BC=6,4 environ

En fait, le théorème de Pythagore signifie que le chemin le plus court c’est la ligne droite ( secret )

Les fonctions (3ème)

Une fonction permet d’associer à un nombre ( antécédent ) un nouveau nombre. Ce nouveau nombre est défini en fonction du précédemment connu (antérieur) : c’est l’image .

En fait c’est tout simple : La fonction c’est comme un miroir, l’antécédent c’est l’objet que l’on place en face du miroir et l’image c’est le reflet de l’objet que l’on perçoit .

Le reflet dépend de la forme du miroir et bien sûr de l’objet tout comme l’image dépend de la fonction et de l’antécédent .

 

La fonction se note en général par une lettre ( a, b, c, … , x, y, z ), le plus souvent on la note f ( comme Fonction ) puis par les lettres qui suivent ( g, h, i … )

L’antécédent, c’est un nombre mais pour définir la fonction de façon général l’antécédent est noté x

Il y a deux façons de noter l’image d’une fonction :

    Voici quelques exemples :

Très important : une image peut avoir plusieurs antécédents mais un antécédent ne peut avoir qu’une seule image ! 

Exemple : Soit la fonction f définie par f(x) = x² f(-2) = (-2)² = 4 et f(2) = 2² = 4 -2 et 2 ont chacun une seule image (en tant qu’antécédents) mais 4 (en tant qu’image) a au moins deux antécédents.

Maintenant, voyons la représentation graphique d’une fonction …

Pour représenter une fonction graphiquement, on trace deux droites perpendiculaires. La droite verticale (droite des ordonnées) représente les images et la droite horizontale (droite des abscisses) représente les antécédents.

Au bout des deux droites, on met une flèche pour dire que le graphique ne représente qu’une partie de la fonction car il est impossible de représenter toutes les valeurs jusqu’à l’infini.

Au bout de la droite des ordonnées, on met un y pour dire qu’elle représente les images et au bout de celle des abscisses on met un x pour dire qu’elle représente les antécédents.

Sur ce graphique on peut lire que f(3) = 3 ; f(1) = -5) ; f(-1) = 3 ….